Posición relativa de dos rectas

Función lineal

Definición:

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Es decir:

f: R —> R / f(x) = m.x+b donde m y b son números reales, es una función lineal.

Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a m.x+b

Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7,
h: h(x) = 4

Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el codominio, siempre que m no sea cero.

Este número m se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.

Volvamos a los ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5 ,
g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4

f: f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11
si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13
si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 2 unidades.

Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son los incrementos.

g: g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7
si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4
si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades.
h: h(x) = 4 si x= 0 , entonces h(0) = 4
si x= 98 , entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.

La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente m y el punto de corte de la recta con el eje y es la ordenada en el origen que llamamos b.

Veamos un ejemplo